LAS PARADOJAS SON DIFICULTADES DE NATURALEZA

PARADOJA - PARADOXOS

El nombre de paradoja procede del griego "paradoxos".

La historia del pensamiento matematico esta llena de dificultades de naturaleza logica que reciben el nombre de paradojas. El nombre de paradoja procede del griego "paradoxos" y etimologicamente significa "termino que contradice la opinion comun"; se refiere a aseveraciones en neta contradiccion con el sentido comun o con los principios de la logica, que, como tales, sorprenden y divierten. Muchos podemos aprender de las paradojas. Al igual que los buenos trucos del ilusionismo, nos causan tanto asombro que inmediatamente queremos saber como se han hecho. Los ilusionistas no revelan jamas como hacen lo que hacen, pero los matematicos no tienen necesidad de guardar el secreto.

Paradoja del abuelo o paradoja del viaje en el tiempo

La maquina del tiempo, de H. G. Wells

Esta paradoja parte del supuesto de que la persona que realiza el viaje en el tiempo (viaje al pasado) mata al padre de su padre (a su abuelo) antes de que este conociera a su abuela y pudieran concebir. En este supuesto, el viajero no mecera nunca, por lo que no podra realizar el viaje en el tiempo y no podra matar a su abuelo.

En la pelicula de 2002 basada en la novela La maquina del tiempo, de H. G. Wells (en la novela original este suceso no aparece), se sugiere que los actos que ocurren en el universo son inevitables y suceden en todas sus lineas temporales. Asi, la mujer del protagonista muere de muchas maneras diferentes en cada uno de los viajes al pasado de este.

En el año 2029, Skynet, la maquina malvada que odia a los humanos y quiere aniquilarlos, envia al pasado, mas concretamente al año 1985, un exterminador para asesinar a Sarah Connor, madre de John Connor, lider de la resistencia en el año 2029; matando a la madre el hijo no pude nacer. La resistencia envia para proteger a Sarah al sargento Riks, el cual se enamora de Sarah y la fecunda.

La paradoja es si Skynet no envia al terminador, la resistencia no enviaria a riks, por lo cual John no naceria al carecer de padre. Pero la historia se complica con la segunda parte t-2 judment day, ya que el joven John y su madre destruyen el proyecto Skynet. Por lo cual, si Skynet no existe en el futuro la resistencia no enviaria a riks y John no naceria, al no nacer Sarah Connor no tendria conocimiento del proyecto Skynet, Skynet no seria destruido, no enviaria al exterminador a mater a Sarah Connor, la resistencia a riks y asi sucesivamente.

Paradoja de la clasificacion

Una muy conocida paradoja logica es esta que expongo a continuacion:

Se toman a todas las personas del mundo, y se las clasifica en interesantes y no interesantes. En la lista de no interesantes debe estar la persona menos interesante del mundo. Sin embargo, este hecho ya la hace interesante, por lo que hay que pasarla a la lista de personas interesantes. Ahora, habra otra persona que sera la menos interesante del mundo, por lo que se repite el proceso. De esta forma, al final todas las personas pasan a la lista de personas interesantes, quedando la lista de personas no interesantes vacia. Por tanto, todas las personas del mundo son interesantes.

Esta es una divertida paradoja derivada de otra paradoja de Edwin F. Bechenbach, que demostraba que todo numero entero positivo es interesante.

¿Que ocurriria si en vez de buscar a la persona menos interesante en la lista de no interesantes, buscasemos a la persona mas interesante de la lista de interesantes? Las listas quedarian como estan. La paradoja se presenta cuando se busca en la lista de no interesantes. Se puede utilizar cualquier criterio, y la paradoja se presenta.

La prediccion de swami

Podra un swami ver el futuro a traves de su bola de cristal? La prediccion del futuro puede llevarnos a un nuevo y curioso tipo de paradojas logicas.

Un dia, el swami tuvo una discusion con su hija Sue, una adolescente.

Sue: Mira Papa, solo eres un engañabobos. La verdad es que no puedes predecir el futuro.

Swami: ¡Claro que puedo!

Sue: ¡Que vas a poder!. ¡Yo te lo demostrare!

Sue anoto algo en un papel, lo doblo, y lo piso con la bola.

Sue: Ahi tienes descrito un acontecimiento que podra suceder antes de las tres de la tarde. Si eres capaz de predecir si ocurrira, no tendras que comprarme el coche que me prometiste si aprobaba todo. Toma esta ficha en blanco y escribe Si si crees que el acontecimiento va a suceder. Escribe NO si no crees que va a ocurrir. Si tu prediccion es equivocada, ¿estaras de acuerdo en comprarme el coche ahora, y no al final de curso?.

Swami: De acuerdo, Sue. Trato hecho.

El swami escribio algo en la ficha. A las tres en punto, Sue saco el papel de debajo de la bola y leyo en voz alta: "Antes de las tres de la tarde escribira NO en la tarjeta".

Swami: ¡Eso es trampa!, Yo he escrito si y me equivoque. Pero si hubiera escrito NO tambien habria perdido. No puedo acertar de ninguna forma.

Sue: Papi, me gustaria un deportivo rojo. ¡Y con asientos anatomicos!

La paradoja del Quijote

En la novela Don Quijote se nos cuenta de una isla donde regia una curiosa ley.

Un guardia pregunta a cada visitante:

Guardia: ¿Para que viene usted aqui?

Si el viajero contesta con verdad, todo va bien. Pero si dice mentida es ahorcado alli mismo.

Un dia, un visitante contesto:

Visitante: ¡He venido aqui para ser ahorcado!

Los guardias quedaron perplejos como el cocodrilo. Si no ahorcasen al sujeto, este habria mentido, y por ello deberia ser ahorcado. Pero si lo ahorcan, habra dicho la verdad, y no deberia se ajusticiado.

Para decidir la cuestion, el visitante fue llevado ante el gobernador de la isla. Tras pensarlo largamente, el gobernados tomo una resolucion:

Gobernador: Decida lo que decida tendre que vulnerar la ley. Asi pues, sere clemente y dejare a este inocente.

La paradoja queda oscurecida por la ambigüedad de la declaracion del visitante. En efecto, ¿esta manifestando su intencion, o esta hablando de un suceso futuro?. En el primer sentido, el hombre pudo haber dicho la verdad respecto a su intencion, y las autoridades podrian no ahorcarlo sin contradecir la ley. Por otra parte, tomada su afirmacion en el segundo sentido, cualquier cosa que hagan las autoridades sera una contradiccion.

Las paradojas de Zenon

Los antiguos griegos idearon muchas paradojas concernientes al tiempo y al movimiento.

Jugando con el significado equivoco de conceptos como el infinito y el infinito, Zenon de Elea, que vivio aproximadamente entre el 495 y el 435 a. de C. formulo algunas paradojas, una de las mas famosas fue la propuesta por Zenon acerca de un corredor.

La paradoja de la dicotomia

La biparticion de las distancias.

El corredor de Zenon razonaba asi:

Corredor: Antes de alcanzar la meta habre de pasar por el punto medio. Y despues habre de alcanzar la marca de 3/4, que esta a la mitad de la distancia restante. Y antes de recorrer la cuarta parte final tendre que pasar por otra marca de mitad del trayecto. Estas marcas intermedias no acaban jamas. ¡Nunca podre alcanzar la meta!

Para poner un ejemplo mas concreto del razonamiento de Zenon, supongamos que un corredor de maraton A tenga que recorrer la distancia BC, sometida a un numero infinito de subdivisiones, en un tiempo finito; esta es, evidentemente, una suposicion absurda porque ¡no es posible recorrer un espacio compuesto de elementos infinitos en un lapso de tiempo finito! Por consiguiente, el movimiento es imposible, aunque la experiencia comun nos diga lo contrario.

La paradoja de Aquiles

Pies ligeros y la tortuga.

Otra famosa paradoja ideada por Zenon es la paradoja de Aquiles. En este caso el guerrero queria alcanzar a una tortuga distante 1 Km.

Cuando Aquiles llega al lugar que ocupaba la tortuga, esta ha avanzado 10 metros mas. Pero cuando Aquiles recorre estos 10 metros, la tortuga ha vuelto a avanzar un poco mas.

Tortuga: Nunca podras cogerme, viejo. ¡Cada vez que llegues al ultimo lugar donde estuve, yo estare siempre un poco mas adelante, aunque sea la mitad de un pelo!.

Zenon sabia, desde luego, que Aquiles podia alcanzar a la tortuga. Lo que hacia era, simplemente, hacer ver las paradojicas consecuencias de imaginar el espacio y el tiempo formados por una sucesion infinita de puntos e instantes individuales consecutivos, como las cuentas de un collar.

La paradoja de la flecha

El argumento es el de la flecha.

La flecha ocupa siempre un espacio determinado y, como tal, esta siempre quieta, en cualquier instante. Para poderse mover deberia estar el mismo tiempo dentro y fuera de su espacio; pero una suma de estados no da movimiento. Por consiguiente ¡El movimiento es imposible!

La paradoja del estadio

Tal vez, es la mas dificil de exponer.

Dos filas de igual numero de soldados (B B B B y C C C C) parten de los extremos de un estadio en direccion al centro (la tribuna formada por A A A A) a la misma velocidad. Se paran cuando esten alineados. El primer soldado B recorre un espacio igual a dos A, pero, en el mismo tiempo, el primer soldado C recorre cuatro soldados B. Dado que los tamaños de A, B y C son iguales, se concluye que la velocidad de los soldados C es doble que la de los soldados B, y habiamos dicho que la velocidad era la misma.

A A A A
B B B B ----->
<------ C C C C

Regresion infinita

• ¿Que fue antes, el huevo o la gallina?
• ¿La gallina? No, pues tuvo que hacer un huevo empollando.
• ¿El huevo? No, una gallina tuvo que poner antes el huevo.

La clasica paradoja del huevo y la gallina es seguramente el mas conocido ejemplo de regresion infinita como se la conoce en logica. Jonathan Swift describio en un poema una regresion infinita de pulgas, poema que el matematico August de Morgan recompuso asi:

Las pulgas grandes
a lomos cargan pulguitas,
quienes las pican.
Y las pulguitas
transportan a otras menores,
al infinitum.

Y las mas grandes van a su vez
a cuestas de otras mayores,
y estas,
aun cabalgan sobre otras,
y asi una vez y otra.

Una pregunta, concerniente a la regresion infinita, que seguramente no costara de contestar es:

• ¿Es nuestro universo, en su continua expansion, todo cuanto existe, o es solo parte de un sistema mas vasto todavia, del que nada sabemos?

Paradoja del cartero o de Russell

Vulgarizacion de la famosa paradoja de Russell.

Dentro del grupo de paradojas logicas nos encontraos esta conocida paradoja del tipo "Si si, entonces no; si no, entonces si" y constituye una vulgarizacion de la famosa paradoja de Russell.

Es el caso de un cartero y un barbero de una cierta pequeña ciudad. El cartero tiene la mision de llevar el correo a aquellos que no lo retiren por si mismos de Correos; de la misma forma, el unico barbero existente tiene la mision de afeitar a todos los vecinos de la villa que no se afeiten a si mismos..

Un buen dia, el barbero le dice al cartero: - Por disposicion municipal yo puedo afeitar a aquellos habitantes que no se afeiten por si mismos, por lo que tengo un problema conmigo mismo: si me afeito a mi mismo, entonces, respetando la decision municipal, no puedo afeitarme, pero si no me afeito si que puedo afeitarme. Pero si me afeito... En resumen, no se si afeitarme o no.

- Mi situacion es aun mas complicada - respondio el cartero -Yo solo puedo llevar las cartas a aquellos que no van a la oficina de correos a recogerlas. Y entonces, ¿Que tengo que hacer con la correspondencia dirigida a mi mismo? Si soy yo mismo el que la retiro, entonces se supone que no me la puedo entregar. Pero si no la retiro, se supone que si me la puedo entregar.